Lakatos Imre: Az empirizmus reneszánsza a mai matematikafilozófiában? 1967 - 25 o.

 

"(1. o.) [Az ortodox logikai empirizmus szerint a természettudomány a posteriori, tartalmas és (legalább elvileg) cáfolható, ezzel szemben a matematika a priori, tautologikus és cáfolhatatlan.]"   1. Empirizmus és indukció: a legújabb divat a matematikafilozófiában?   "(2. o.) ...Russel... 1924-ben... a logika (és a matematika) pontosan olyanok, mint az elektrodinamika Maxwell-egyenletei: azokban is "egyes logikai következményeik megfigyelt igazsága miatt hiszünk"." "(2. o.) Fraenkel 1927-ben... "Egyes axiómák súlya inkább azon következményeik magától értetődő voltából származik, melyek nélkülük levezethetetlenek volnának"." "(2. o.) Carnap... 1958-ra... van valamilyen hasonlóság a fizika és a matematika között... "az abszolút bizonyosság elérhetetlensége"." "(2. o.) Curry... 1963-ban: "...a matematika igazolásához szükség van-e az abszolút bizonyosságra? ... Ha a formalista nézeteknek megfelelően fogjuk fel, mi is az, hogy elmélet, mindaddig elfogadunk egy elméletet, amíg hasznos és kielégít olyan követelményeket, mint a természetesség és egyszerűség az adott kor mércéje szerint, és nem tudunk róla, hogy hibákhoz vezetne... A Gödel-tétel arról szól, hogy ez minden, amit tehetünk..."." "(5. o.) Neumann 1947-ben...: "...végső soron a klasszikus matematika, még ha nem is lehetünk soha többé biztosak abszolút megbízhatóságában, ...legalább olyan biztos alapokon nyugszik, mint, mondjuk az elektron létezése. Ennélfogva, ha az ember hajlandó elfogadni a természettudományt, akkor éppúgy elfogadhatja a matematika klasszikus rendszerét"." "(6. o.) Motowski szerint pedig a matematika csak egy a természettudományok közül..." "(6. o.) ...Kalmár... "legtöbb formális rendszerünk konzisztenciája empirikus tény. ...Miért nem valljuk be, hogy a matematika, csakúgy, mint a többi tudomány, végső soron a gyakorlaton alapul, és ott is kell ellenőrizni?"" "(6. o.)...a matematikai empirizmus és induktivizmus (nemcsak a matematika eredetét vagy módszerét illetően, hanem az igazolásának tekintetében is) élőbb és elterjedtebb, mint azt sokan hiszik."   2. Kvázi-empirikus és eukleidészi elméletek   "(6. o.) A klasszikus ismeretelmélet kétezer év óta az eukleidészi geometriáról alkotott elképzelése után mintázta meg mind a természettudományos, mind a matematikai elmélet ideálját. Az ideaális elmélet deduktív rendszer, felül kétségbevonhatatlan igazságérték-befecskendezéssel (ez az axiómák véges konjunkciója), így az igazság, amint fentről lefolyik az érvényes következtetések biztos igazságérték-megőrző csatornáin át, elárasztja az egész rendszert." "(7. o.) ...a tudomány a hatalmas erőfeszítések ellenére sem szervezhető ilyen eukleidészi elméletté. A természettudományos elméletekről kiderült, hogy olyan deduktív rendszerek, melyeknél a döntő igazságérték-befecskendezés alul történik, a tételek egy speciális halmazánál. Csakhogy az igazság nem folyik fölfelé. Az ilyen kvázi-empirikus elméletek fontos logikai áramlása nem az igazság továbbítása, hanem inkább a hamisság visszaemelése az alsó speciális állításoktól ("bázisállítások") fel az axiómák halmazáig." "(7. o.) ...egy kvázi-empirikust a legjobb esetben jól alátámasztottnak tekinthetünk, de mindenképpen hipotetikus jellegű." "(8. o.) A tudomány módszertana nagy mértékben függ attól, hogy eukleidészi vagy kvázi-empirikus ideálnak akar-e megfelelni. Ha az előbbit teszi magáévá, az alapvető szabály magától értetődő axiómák keresése... Az utóbbinak pedig a merész, fantáziadús hipotézisek keresése az alapszabálya, melyek nagy magyarázó és "heurisztikus" erővel rendelkeznek. Ezáltal az alternatív hipotézisek bőségét pártolja, melyeket aztán a szigorú kritika gyomlál ki - a kvázi-empirikus metodológia gátlástalanul spekulatív."   3. A matematika kvázi-empirikus   "(9. o.) ...a gazdagabb matematikai elméletek - éppúgy, mint a természettudományos elméletek - kvázi-empirikusak."   4. "Potenciális cáfolók" a matematikában   "(9. o.) ...az átfogó axiomatikus halmazelméletek és matematikai rendszerek cáfolhatók, és ténylegesen meg is lettek cáfolva."   5. A kvázi-empirikus elméletek fejlődésének stagnáló időszakai   "(23. o.) A kvázi-empirikus elméletek története a merész spekuláció és a drámai cáfolatok története." "(24. o.) A legsúlyosabb veszély a modern matematikafilozófiában az, hogy akik felismerik a matematika cáfolhatóságát és így a természettudományokkal való hasonlóságát, egy rossz tudományképhez fordulnak analógiákért. A "progresszív intuíció" és az indukció ikertéveszméje ismételten feltűnik a kortárs matematikafilozófusok munkáiban." "(24. o.) Nem elég csak szavakban fallibilistának lenni: "Egy filozófus számára nem lehet semmi olyan, ami abszolút magától értetődő", majd így folytatni: "A gyakorlatban természetesen számtalan dolgot magától értetődőnek nevezünk, ...minden kutatási módszer magától értetődőként feltételez bizonyos eredményeket." (Bernays) Az ilyen puha fallibilizmus elválasztja a fallibilizmust a bírálattól, és megmutatja, milyen mélyen beleivódott az eukleidizmus a matematikafilozófiába. A paradoxonoknál és Gödel eredményeinél több kell ahhoz, hogy rávegye a filozófusokat a matematika empirikus aspektusainak komolyan vételére és a kritikai fallibilizmus olyan filozófiájának kidolgozására, amely nem az úgynevezett alapokból, hanem a matematikai tudás fejlődéséből merít ihletet."

 

Vissza az oldal elejére