Lakatos Imre: Cauchy és a kontinuum: A nemstandard analízis jelentősége a matematika történetében és filozófiájában 1966 - 22 o.

 

1. A nemstandard analízis az infinitezimális kalkulus radikális újraértékelése mellett szól   "(1. o.) A matematika történetét még inkább eltorzították hamis filozófiák, mint a természettudomány történetét. Még ma is sokan az örökkévaló igazságok felhalmozásának tartják, a hamis tételeket és elméleteket az előtörténet sötét lomtárába száműzik, vagy sajnálatos hibának tekintik őket..." "(2. o.) A matematikai gondolkodás történetének legizgalmasabb sejtései és cáfolatai elkerülik figyelmüket. Ami még rosszabb, érdekes inkonzisztens elméleteket a mai elméletek "helyes" ám érdektelen előfutáraivá torzítanak. A múlt nagyjainak tekintélyét menteni célzó erőfeszítések... sokszor felülmúlják képzeletünket." "(2. o.) Mindez különösen igaz az infinitezimális kalkulus történetírására. A Weierstrass előtti időszak legizgalmasabb jelenségei közül néhányat említés nélkül hagynak... Robinson munkája forradalmasítja az erről a fontos és érdekes korszakról alkotott képünket."   2. Cauchy és az egyenletes konvergencia problémája   "(4. o.) De mi a helyzet Cauchy jól ismert "tévedéseivel"? ...ha Cauchy "tévedései" pusztán figyelmetlenségek, miképp történhetett, hogy az egyiket csak 1847-ben helyesbítették (Seidel), a másikat pedig csak 1870-ben(Heine)?" "(6. o.) Cauchy története elég rejtélyes, mindenütt sűrűn tele problémákkal. Robinson elmélete azonban megadja nekünk a megoldáshoz szükséges kulcsot."   3. Az új megoldás   "(13. o.) Végül azt is megértjük, miért nem értette Cauchy még 1853-ban sem az egyenletes konvergencia fogalmát, még ha ismerte is Seidel eredményét. Cauchy ugyanis nem értette Weierstrass elméletét, hasonlóan, ahogy Seidel - akinek fogalma sem volt a Leibniz-Cauchy-féle infinitezimális elméletről - félreértette Cauchy bizonyítását."   4. Mi okozta Leibniz elméletének bukását?   "(15. o.) Leibniz elmélete tehát nem azért bukott el, mert inkonzisztens volt, hanem mert csak korlátozott növekedésre volt képes. Az infinitezimálisok bukását Weierstrass elméletének magyarázó ereje és a benne rejlő heurisztikus növekedési potenciál idézte elő."   5. Cauchy Robinson "előfutára" volt-e?   "(17. o.) ...Cauchy és Robinson közötti folytonosság sokkal kisebb mértékű, mint a Cauchy és Weierstrass közötti."   6. Metafizikai vagy technikai?   "(19. o.) A jusztifikacionista történetírás... a matematika történetét az örökkévaló igazságok felhalmozásának láttatja. Ez vagy oda vezet, hogy a matematikatörténetet az utolsó "szigorúsági forradalomtól" keltezik, vagy oda, hogy meghamisítják és a ma elfogadott sémák szerint rekonstruálják. A folytonosság maximalizálására törekvésnek széles körben elterjedt eszköze, hogy a matematikai elméletekben a formális kemény magot - amelyet nem vitatnak, kétségbevonhatatlan és örökkévaló - elkülönítik a formalizmus "metafizikai" interpretációjától, amely vitatható, "puha" és változó." "(20. o.) Innen ered Cauchy és mások nézete, hogy az infinitezimális elmélet használható eszközként a bizonyításokban, de fogalmai nem jelenhetnek meg a tételekben." "(20. o.) ...az informális matematikában a "metafizika" nem választható el a "technikától"."   7. A matematikai elméletek értékelése   "(21. o.) Kell hogy legyenek az informális és inkonzisztens matematikai elméletek értékelésére szolgáló racionális standardok, de ezekhez olyan filozófiára van szükség, melyet az informális matematika fejlődésének vizsgálata inspirál, nem pedig a formális rendszerek, az alapok kutatása, mint a matematika filozófiájának jelenlegi irányzatai." "(22. o.) Nem ez az első alkalom, hogy az alapok tanulmányozása úgy ért el egy végpontra, hogy célját, a végső szigorúságot nem érte el, de serkentette és előmozdította a további fejlődést."

 

Vissza az oldal elejére