Lakatos Imre: A végtelen regresszus és a matematika alapjai 1962 - 26 o.

 

Bevezetés   "(2. o.) Az ismeretelmélet alapvető kérdése a dogmatikusok és a szkeptikusok közötti ellentét. Az előbbiek szerint tudhatunk, az utóbbiak szerint vagy nem tudhatunk, vagy nem tudhatjuk, hogy tudunk, és hogy mikor tudunk."   1. A végtelen regresszus megállítása a természettudományban   "(2. o.) A szkeptikusok arra használták a végtelen regresszust, hogy megmutassák: a tudás alapjainak keresése reménytelen. ...Arra jutottak, hogy a tudás megszerzésére irányuló racionális erőfeszítés hatástalan; a természettudomány és a matematika álokoskodás és illúzió. Így a racionalizmus számára... fontossá vált e bosszantó kettős végtelen regresszus megállítása, és a tudás szilárd alapköveinek lerakása." "(4. o.) Az eukleidészi program azt javasolja, építsünk eukleidészi elméleteket, melyekben a jelentés és az igazságérték alapzata a rendszer teteje, amit az "Ész természetes fénye" világít meg, konkrétabban a számelméleti, geometriai, metafizikai, morális stb. intuíció. Az empirista program empirikus elméletek építését javasolja, melyekben a jelentés és az igazságérték alapzata a rendszerben alul található és a "Tapasztalat természetes fénye" ragyogja be. "(5. o.) Míg az eukleidészi elmélet "igazolt", az empirista elmélet csak "cáfolható", de nem igazolható." "(6. o.) Az induktivista program kétségbeesett erőfeszítés volt olyan csatorna kialakítására, melyben az igazság az alapállításoktól felfelé folyna, s ezért bevezetett egy további logikai elvet, "az igazság visszaemelésének elvét"."" "(6. o.) A logika (azaz az igazságérték-csatornák elmélete) története... lényegében "a deduktív csatornák kritikájának és tökéletesítésének", s a logika "formálissá" tételével egyben "az induktív csatornák lerombolásának története"." "(8. o.) ...Popper megmutatta, hogy fölfelé még a részleges jelentés- és igazságátvitel sem lehetséges. Ám azt is kimutatta...; hogy nincsenek "empirikus" fogalmak, csak "elméletiek", és hogy a bázisállítások igazságértéke sem végérvényes."   2. A végtelen regresszus megállítása a matematika logikai trivializálása révén   "(9. o.) Az empirista program cáfolható álokoskodása győzött, az eukleidisták cáfolhatatlan trivialitása veszített." "(9. o.) Cauchy és követői..., a matematikusok e nagyszerű iskolája meglepő definícióival megmentette a matematikát a szkeptikusoktól, és állításait szigorúan bebizonyította. A matematikát trivializálták..." "(12. o.) ...tisztában kell lennünk a logikai intuíció speciális helyzetével... A felülről való igazság-befecskendezés kizárólagos jogáért vívott küzdelemben a logikai intuíció egészen különleges szerepet játszott, mivel bárki győz is az axiómákért folytatott harcban, a logikai intuícióra kell hagyatkoznia, hogy fölülről eljuttassa az igazságot a rendszer távoli részeibe." "(12. o.) ...ha bármely dogmatista programnak... szüksége van triviális, valóban cáfolhatatlan logikai intuícióra, akkor... óriási nyereség lesz annak megmutatása, hogy az egész matematikának csakis a logikai intuícióra van szüksége: így ugyanaz lesz a forrása mind az axiómák, mind az igazság-továbbítás bizonyosságának." "(13. o.) Russel... "...Túl gyakran halljuk azt, hogy nincs abszolút igazság, csak vélekedés és egyéni ítélet... csak számomra meg számodra való igazság létezik: minden egyes személynek a maga külön igazsága. ...Az ilyen szkepticizmussal szemben a matematika örökös szemrehányás; mert igazságainak építménye rendíthetetlenül és bevehetetlenül állja a kétkedő cinizmus minden fegyverének az ostromát"." "(20. o.) A Russel-paradoxon hatására Frege azonnal felhagyott a matematikafilozófiával. Russel még ellenállt egy darabig, ám végül követte Fregét."   3. A végtelen regresszus megállítása triviális metaelmélettel   "(21. o.) A hilberti metamatematika "azzal a céllal lett megalkotva, hogy egyszer s mindenkorra véget vessen a szkepticizmusnak." Célja így azonos volt a logicistákéval." "(22. o.) Hilbert elmélete a formális axiomatika eszméjén alapult. Az állította, hogy (a) a formálisan bizonyított számalméleti állítások - a számelmélet tételei - bizonyosan igazak, ha a formális rendszer konzisztens abban az értelemben, hogy A és -A nem lehetnek egyidejűleg tételei, (b) minden számelméleti igazság formálisan bizonyítható, és (c) a matematika, a matematika ezen új ága... egy speciális fajta eukleidészi elmélet lesz: "finit" elmélet, nyilvánvalóan igaz axiómákkal, melyek csak tökéletesen jól ismert fogalmakat tartalmaznak, és nyilvánvalóan biztos levezetésekkel... A számelméleti igazság... szilárd, triviális, "globális" intuíción nyugszik, s így az "abszolút igazságon"." "(22. o.) Gödel második tétele döntő csapást mért erre a reménykedésre... A bizonyításokban fellépő végtelen regresszus nem érhet véget egy "finit" triviális metaelméletben..." "(22. o.) Gödel első tétele másik módot is mutat arra, hogyan mondhat csütörtököt egy axiomatikus elmélet: ha egyáltalán van modellje, akkor több is van, mint amit akartunk." "(23. o.) Gödel felfedezése az ω-inkonzisztenciáról ha lehet, még rosszabb... véget vetett a hilberti "formalizmusnak"..." "(25. o.) De mi a csodának kell "végső" próba, "végső" tekintély? Minek kellenek alapok, ha elsimerten szubjektívak? Miért nem ismerjük be őszintén a matematika kétségbevonhatóságát, és próbáljuk megvédeni a kétségbe vonható igazság méltóságát a cinikus szkepticizmustól, inkább, mint hogy azzal áltassuk magunkat, hogy észrevétlenül be tudjuk foltozni "végső" intuíciónk szövetének minden szakadását?"

 

Vissza az oldal elejére