Vissza a főoldalra    Vissza a Tudományos érdekességek oldalra

      Mi a szám?
      A számok (tágabb értelemben) az emberi elmében létező fogalmak, amelyek a megszámlálható (darabos, részekre osztható, mérhető) dolgok egyes mennyiségeinek felelnek meg, azok kifejezésére szolgálnak, illetve azok megszámlálásának szükségességéből alakultak ki. Olyan beszélt vagy írott szimbólumok, amelyek egyértelműen kifejeznek egy mennyiséget valamiből, annak anyagától, méretétől, sorrendjétől, állapotától és elrendezésétől függetlenül. A fizikai világ "dolgai" egyértelműen megfeleltethetők (számlálással vagy méréssel) számoknak, az elvont emberi fogalmak, mint esztétikai érték, emberi tulajdonságok..., stb. általában nem. A számok (szűkebb értelemben) a matematikában: a fizikai világból eredő, de fizikai megfeleltetés nélkül, önállóan is létező matematikai fogalmak, amelyekkel műveletek végezhetők és amelyekre törvényszerűségek állapíthatók meg, amely megállapítások általában a fizikai világ törvényeivel összhangban vannak, azok törvényszerűségeit is megjelenítik, így nagyon hasznosak lehetnek.
      A számok köre a régmúltban még megegyezett a ma természetes számoknak nevezett (0, 1, 2, 3...) számokkal, de a matematika az igényeknek megfelelően fokozatosan kibővítette ezt a negatív számokkal, a tört számokkal, az irracionális számokkal és a komplex számokkal.
      (Szám: "1. Megszámlált egység(ek)ből álló mennyiség. 2. Ennek egy v. több számjegyből álló jele." - Magyar Értelmező Kéziszótár, 1985.)
      (Szám: "1. Bizonyos mennyiségek kifejezésére szolgáló fogalom." - Új Magyar Lexikon, 1962.)
      ("A számok szimbólumok, amelyekkel műveleteket végezhetünk és amelyek kapcsolatban vannak a fizikai dolgokkal." - Lánczos Kornél: Számok mindenütt, 1968.)
      (További irodalom: Filep László - Bereznai Gyula: A számírás története, 1982.)

      Mik azok a számrendszerek?
      A számábrázolási rendszerek (röviden számrendszerek) szabályrendszerek, amelyek megadják a számok ábrázolási szabályait, hogy milyen jelekkel (hang vagy írás) és milyen jelsorrenddel írható le egyértelműen egy bizonyos szám. Ezek közül a legismertebb a ma általánosan használt 10-es számrendszer, a számítástechnikához kapcsolódó 2-es és 16-os számrendszerek, valamint az úgynevezett római számírási rendszer.

Vissza az oldal elejére

      A számábrázolás rövid története
      A gondolkodó ember történetének őskorában, a törzsi együttélés, a közös munka (eszközkészítés, vadászat, gyűjtögetés; később földművelés, állattenyésztés) velejárójaként, a beszélt nyelvvel együtt lassan kialakultak a számok (természetes számok) nyelvi alakjai is. A nyelv, igény szerint bővülve, egyre nagyobb számok közlését tette lehetővé, de egy bizonyos számosság fölött már értelmetlen minden számra külön nevet alkalmazni. A nagyobb számok kifejezése bizonyosan valamilyen számrendszer alkalmazásával történt. Például: 10 alapszám (1-től 10-ig külön szóval jelölve), ami egy "csapat"-ot jelent (egy csapat = 10 darab), így alkalmas a 10 "csapat"-ig, 100-ig (hét csapat és még négy = 74), illetve akár 10-szer 10 "csapat"-ig, 1000-ig történő számolásra is (háromszor tíz és még kettő csapat = 320). Ez a 10-es számrendszer alkalmazása, amelynek első ismert megjelenése az i. e. 4000 körüli Elámból származik. Természetesen a társadalom és gazdaság fejlődésével szükségessé vált a számok írásos rögzítése is, kialakultak a számok és "csapatok" jelölésére használt számjegyek. Szintén természetes, hogy a (viszonylag elszigetelt) népcsoportok, ahogyan más nyelvet, úgy más számrendszert, más számjegyeket használtak.
      Az írott történelem bizonyítja, hogy az ókorban az ember ujjainak számából következő 10-es számrendszeren kívül még több, elvileg egyenértékű, de kissé körülményesebb számrendszert is alkalmaztak. (Az 5-ös számrendszert, amely az egy kézen levő ujjak számából ered még a 20. században is használták egyes afrikai törzsek. A 6-os számrendszert használták Pápua Új-Guineán. Az ujjközök számából eredő 8-as számrendszert használták egyes Észak-Amerikában élő törzsek. A − talán az egy kéz hüvelykujjal számolható ujjperceinek számából eredő − 12-es számrendszer használatára utalnak az egyes nyelvekben külön szóként megjelenő 11 és 12 számok, a tucat fogalom használata, az órák és a hónapok felosztásai. Egészen 1959-ig hivatalosan is jelen volt a hagyományos 16-os számrendszer használata a kínai súlyméréseknél. A 20-as számrendszert használta számos törzs és nemzet Afrikában, Dél-Amerikában, Ázsiában, és számos európai nyelvemlék is bizonyítja annak korábbi jelenlétét. A 60-as számrendszer használata már az i. e. 3000 körüli sumér leleteken is megfigyelhető, de ennek maradványa a 60 perces órák, a 60 másodperces percek és a szögek, szögpercek, szögmásodpercek hagyományos alkalmazása is.)
      A különböző kultúrákban használt számábrázolás sokszor vegyes, több számrendszert is alkalmazó volt, illetve különböző feladatokra (például darabszámra és súlymérésre) más és más számrendszert használt.
      Természetesen, egy bizonyos egész szám bármelyik számrendszerben ábrázolható, és a különböző ábrázolások jelentés és pontosság tekintetében egymással teljesen egyenértékűek. A különbség a számok ember által való (minél könnyebb) értelmezhetőségében, az azokkal lehetséges műveletvégzésben (ami annál jobb, minél egyszerűbb) van.

      Fontos-e a könnyű számértelmezés és műveletvégzés?
      A válasz egyszerű és "kemény": aki (amelyik népcsoport) jobban, gyorsabban, hatékonyabban számolt, az műszaki-, technológiai-, gazdasági fölényben volt. A "jó" számolásnak mindig is közvetlen pénzügyi értéke volt. A cél ma is az, hogy minél kevesebb emberi és gépi erőforrással, minél gyorsabban (vagyis összességében minél olcsóbban) lehessen számolási feladatokat elvégezni. (Nem véletlen, hogy a számítógépek tömeges elterjedésével, a számítási teljesítmény ugrásszerű növekedésével arányosan csökkent a pénzügyi-, kereskedelmi- és közigazgatási alkalmazottak száma.)
      Az írott történelem bizonyítja, hogy az elavultnak számító számkezelést használó népek fokozatosan áttértek a kívülről érkező modernebb (egyszerűbb mégis univerzálisabb) számrendszerek alkalmazására, amelyek hatékonyabb számolást biztosítottak. Tudjuk, hogy az indiai eredetű 10-es számrendszer, annak modern helyiértékes ábrázolásával együtt arab közvetítéssel került hozzánk, az elavult római számokat használó Európába.

      Milyen egy jó számrendszer?
      A jó számrendszer egyszerű, tömör, könnyen tanulható és könnyű vele a műveletvégzés. Bővebben:
      • egyszerű: nem túl sok, egymástól jól megkülönböztethető szimbólumegységgel (számjeggyel) és egyszerű szabályrendszerrel dolgozik;
      • tömör: a hétköznapi számtartományban az ábrázolt számok nem túl hosszúak, könnyen megjegyezhetőek;
      • könnyen megtanulható: a gyermekek számára is egyszerű a szabályrendszer elsajátítása, a műveletvégzés oktatása;
      • könnyű műveletvégzés: a hétköznapi számtartományban az alapműveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) emberek számára egyszerűen elvégezhetőek. (Ezzel ellentétes és manapság egyre fontosabb követelmény, hogy a műveletek számítógépek számára könnyen elvégezhetőek legyenek.)
      A fenti követelményeket csak egy állandó alapszámú, tisztán helyiértékes, nullát is tartalmazó (modern) számrendszer elégítheti ki (most nem célunk, hogy kifejtsük miért). Ilyen a manapság elterjedten alkalmazott 10-es számrendszer és az ennek analógiájaként leírható tetszőleges alapszámú számrendszerek (2-es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os, 7-es, 8-as, 9-es,... 12-es,... 16-os,... 20-as,...) közül néhány.

      Hogyan is ábrázol egy modern számrendszer?
      Mivel manapság a helyiértékes számrendszerek felépítése közismert, csak rövid összefoglalót adunk ezekről.
      A számrendszer alapszáma adja a helyiértéklépcső szorzószámát és a használni szükséges számjegyek számát. (Például a 10-es számrendszerben az alapszám 10, ami azt jelenti, hogy 10db különböző számjegy van (0..9) és minden helyiérték mindig 10-szerese a jobb oldali szomszédjának és 10-ed része a bal oldali szomszédjának.
      A helyiérték megadja az egyes számjegyek számon belüli szorzóját. (Például 10-es számrendszerben: egyesek, tízesek, százasok... jobbról balra.)
      A tizedesvessző jelöli ki az egyesek helyét a számban, amely tőle balra helyezkedik el. (Ha nincs a számban tizedesvessző, akkor az egy egész szám és a jobb oldali szám képviseli az egyes helyiértéket.)
      A következő ábrán a 2015-ös szám ábrázolása látható 10-es számrendszerben:

      Leolvasható, hogy a 2015 2db ezresből, 1db tízesből és 5db egyesből áll. (A szám értékét úgy kapjuk, hogy a helyiértékkel szorzott számjegyek eredményeit összeadjuk: 2-szer 1000 + 0-szor 100 + 1-szer 10 + 5-ször 1 = 2015.)
      Látható, hogy egész szám esetében a tizedesvesszőt nem ábrázoljuk, valamint természetesen a mindkét irányban végtelenbe futó felesleges nullák sorát sem ábrázoljuk.
      A következő ábrán a 2015-ös szám ábrázolása látható 8-as számrendszerben (az egyéb magyarázó számok 10-es számrendszerben szerepelnek):

      Összeadva a valós értékeket: 3-szor 512 + 7-szer 64 + 3-szor 8 + 7-szer 1 = 2015.

Vissza az oldal elejére

      Mik a modern számrendszerek alaptulajdonságai?

      A következő táblázat a 2-től 20-ig terjedő alapszámokkal felépített számrendszereket foglalja össze.

      Láthatjuk, hogy a számok után alsó indexben elhelyezett szám jelöli a szám számrendszerét. Ugyanazon számjegyek különböző számrendszerek esetében más és más számot jelentenek. (25₈ = 21₁₀, 25₁₂ = 29₁₀, 25₁₆ = 37₁₀.)
      A következő ábra az előzőekben említett egyes számrendszerek ábrázolási tartományát mutatja be különböző számhosszak esetén. A vízszintes tengelyen a leírni kívánt pozitív egész szám van feltüntetve, a függőlegesen az ehhez szükséges számjegyek száma. (A grafikon természetesen nem folytonos, hanem vízszintes vonalakon elhelyezkedő pontokból áll, de a szemléletesség kedvéért 10 fölött, ahol a pontok amúgy is vonalakká folynak össze, már folytonosan van ábrázolva, a számjegyek közti átmenet függőleges összekötéseivel. A nagyobb alapszámú számrendszer grafikonja takarja a kisebbet, de az átmenetek ábrázolása megmutatja a takart grafikonok valós méreteit.)

Vissza az oldal elejére

      Melyik az ember számára ideális számrendszer?
      A fenti ábrán is látható, hogy minél kisebb egy számrendszer alapszáma, annál több számjegy szükséges egy adott mennyiség leírására, illetve fordítva, minél nagyobb az alapszám, annál kevesebb számjegyre van szükség. Látható, hogy a tízes számrendszerben négyjegyű 1000-es szám leírására kettes számrendszerben 10, hatvanas számrendszerben csak 2 számjegy szükséges. Ez a jellemző a nagyobb alapszámú számrendszereket helyezi előtérbe.
      Egy adott helyiértékes számrendszerben az alapszámnak megfelelő számú különböző írásjel (számjegy) szükséges a számok leírására. A kettes számrendszerben kettő (0 és 1), a tízesben tíz (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), a tizenhatosban tizenhat (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F), a hatvanasban hatvan (0, 1, 2, 3, 4..., sajnos nincs is ennyi betű a billentyűzeten). A kisebb alapszámú számrendszerekhez kevesebb számjegyre van szükség, kevesebb a betűkön kívüli külön írásjegy, (kevesebb szám-nyomógomb szükséges a billentyűzeteken) és sokkal kisebbek a szorzótáblák.
      Bizonyos, hogy itt is az arany középút lesz a megoldás, hiszen tudjuk, hogy a köznapi- és a tudományos életben a tízes számrendszer van használatban. Viszont, ha jobban belegondolunk, és ez már kevéssé ismert dolog, manapság, a számítógépek korában, a legtöbb számítási művelet kettes számrendszerben kerül elvégzésre és esetleg csak az eredmény kerül kijelzésre tízes számrendszerben. Valójában, egy adott idő alatt a Földön tízes számrendszerben elvégzett matematikai műveletek száma elenyészően kicsi a kettes számrendszerben elvégzettekhez képest, hiszen minden egyes személyi számítógép műveletek (melyek közül sok számolási művelet) millióit hajtja végre másodpercenként.
      A 8-as, 10-es, 12-es és 16-os számrendszerek előnyeiről, hátrányairól manapság is sok vita folyik a tudományos életben. A 8-as, 12-es és 16-os számrendszereknek léteznek jó értelemben vett "fanatikus" követői is, akik egy hivatalos számrendszerváltást is szeretnének elérni. (Octomatics, Dozenal Society of America, The Dozenal Society of Great Britain, Hex Headquarters.)

Vissza az oldal elejére

      Melyik az a számrendszer, amely a legtömörebben tárolja az információt? Vagyis minél kevesebb számjeggyel, minél rövidebben. Illetve, van-e különbség a számrendszerek ábrázolási tömörsége között, miközben tudjuk, hogy a különböző számrendszerben ábrázolt számok teljesen egyenértékűek, tehát információtartalmuk is megegyezik?
      Azt, hogy egy tisztán helyiértékes számábrázolású számrendszer (mint a mi 10-es számrendszerünk) számjegyeivel hány különböző természetes szám ábrázolható, a számjegyek ismétléses variációja adja meg. Például, ha a hatos számrendszer számjegyeiből (0, 1, 2, 3, 4, 5) képezhető négyjegyű számok mennyiségét keressük, akkor azt ezek hatodrendű (n = 6) negyedosztályú (k = 4) ismétléses variációjaként számíthatjuk ki:

V_n^k,i = n^k = 6⁴ = 1296₁₀.

      Vagyis egyszerűen (kombinatorika bevonása nélkül) megfogalmazva:

megjeleníthető számok mennyisége = számrendszer alapszáma^{számjegyek száma}.

      Tegyük fel, hogy egy számrendszer annál tömörebben ábrázol egy számot, minél kisebb az alapszáma (vagyis minél kevesebb különböző számjegye van) és az ábrázolt szám minél kevesebb jegyű. Ezt a két szempontot egyenrangúnak feltételezve definiáljuk egy tetszőleges helyiértékes számrendszerben ábrázolt egész szám terjedelmességét a számrendszer alapszáma (különböző számjegyeinek száma) és a szám hossza (számjegyeinek száma) összegeként:

T = n + k, ahol

      • T = terjedelmesség;
      • n = a számrendszer számjegyeinek száma (alapszáma);
      • k = a szám számjegyeinek száma (hossza).
      Például a hatos számrendszerben ábrázolt 231₆ szám terjedelmessége: T = 6 + 3 = 9. Ha ezt a számot négyes számrendszerben ábrázoljuk, akkor a 1123₄ szám terjedelmessége: T = 4 + 4 = 8. Látható, hogy ugyanazon szám fent definiált terjedelmessége különböző számrendszerekben különböző is lehet.
      A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy egy természetes szám ábrázolása tömörebb, ha az adott alak terjedelmessége kisebb, mint egy másik számrendszerben ábrázolt alak terjedelmessége. (Vagyis a 1123₄ tömörebb ábrázolás, mint a 231₆, habár azonos számokról van szó.)
      A következő táblázat néhány számérték különböző számrendszerekre meghatározott terjedelmességét mutatja.

      Láthatjuk, hogy egy szám terjedelmességei a lehetséges számrendszerekben meghatározva bizonyos helyen minimum értéket mutatnak. (A táblázatban a minimum helyek fehér háttérrel vannak kiemelve.) Megfigyelhető, hogy a számérték növelésével a minimum terjedelmesség helye is felfelé, a nagyobb alapszámú számrendszerek felé mozdul.
      A következő grafikonsereg az egyes számrendszerek adott terjedelmességekhez tartozó számábrázolási tartományait mutatja be. (A valójában pontokból álló grafikonok a szemléletesség kedvéért folytonos vonallal vannak ábrázolva.)

      A fenti ábrából kiolvasható, hogy az egyes számrendszerek milyen számtartományokban ideálisan tömörek a fent megadott terjedelmesség definíció alapján értelmezve. Látható, hogy néhány milliós számértékeknél az 5-ös és 6-os számrendszerek az ideálisak, vagyis az ember hétköznapi életében alkalmazott számok esetében elegendő, sőt sokkal egyszerűbb volna az 5-ös vagy 6-os számrendszer alkalmazása. A 8-as számrendszer tömörség tekintetében csak a 10¹⁰..10²⁰ számtartományban tekinthető ideálisnak. A 10-es számrendszer pedig csak a 10¹⁵-től jöhet számításba.
      Megfigyelhető, hogy a vastag fekete vonallal ábrázolt görbe, amely a grafikonok maximum pontjait köti össze, egyre meredekebben emelkedik. (Pedig a függőleges tengely már így is logaritmikus beosztású.) Vajon hogyan alakul a görbe nagyobb számértékek esetén?
      Ezt a következő kiterjesztett grafikonsereg mutatja be.

      Látható, hogy a maximum görbe a 30-as számrenszeren túlra nyúlik (az értelmezési tartománya valószínűleg végtelen, itt most nem célunk ezt elemezni).
      Leolvasható, hogy a 10-es számrendszer tömörség tekintetében csak a 10¹⁵..10³⁰ számtartományban tekinthető ideálisnak. A 12-es számrendszer a 10²⁰..10⁴⁰, a 16-os számrendszer pedig a 10⁵⁰..10⁶⁰ tartományban ideális.

Vissza az oldal elejére

      Összegzés, eredményhirdetés
      A következő táblázat a "legjobb", az 5-ös, a 8-as, a 10-es, a 12-es és a 16-os számrendszerek tulajdonságait foglalja össze és értékeli. (A piros számok jelölik az egy-egy tulajdonságban megállapított értéksorrendet. Az 5-ös a legjobb, az 1-es a legrosszabb.)

      A fenti (kissé szubjektív) értékelés alapján a 8-as számrendszer tekinthető ideálisnak, a választott tulajdonságokat egyenrangúnak feltételezve. (Valószínűsíthető, hogy a gyermeki szám- és számolás tanulással kapcsolatos tulajdonságokat, a táblázat első három sorát, súlyozottabban kellene számítani, mert a számbeliség gyors és alapos elsajátítása alapozza meg a komolyabb matematikai ismereteket. Csak ezeket vizsgálva az 5-ös számrendszer kerül ki győztesen.)
      A 10-es számrendszer nincs messze a 8-astól, sőt a gyermekek ujjszámolása terén egyértelműbb is annál. Megállapítható, hogy a mai követelmények alapján nem a legideálisabb, de az élmezőnyben van. Szinte bizonyos, hogy az ujjak számából adódóan alakult ki és terjedt el, és manapság is ez könnyíti meg a kisgyermekek tanulását, habár 8 éves kortól kezdődően ennek ma már nincs sok szerepe.
      A 12-es számrendszer híveinek érvei között a legerősebb a fejben történő osztás könnyű elvégezhetősége, amiben a 12-es számrendszer nagyon jó. Alkalmazása nagyban könnyítené a papíralapú manuális osztás elvégzését, amely 1980-ig, a zsebszámológépek elterjedéséig mindennapos feladat volt az emberek számára. A manuális osztás mára viszont már visszaszorult az alsó tagozatos matematika oktatás keretei közé. A gyakorlatban, a munkában már nincs szükség manuális számításokra, így a könnyű elvégezhetőség jelentősége mára már elenyészett.
      A 16-os számrendszer híveinek érvei között a legerősebb a kettes számrendszerbe való átalakítás könnyű elvégezhetősége, hiszen a számítógépprogramozók elterjedten használják a 16-os számrendszert (mint ahogy ezen WEB-oldal HTML-kódjában is több mint húsz 16-os számrendszerbeli szám szerepel). Igaz, hogy a számítógépek mindennapos használati tárggyá váltak, de a 16-os számrendszert így is csak az emberek néhány tized százaléka, a tágabb értelemben vett számítógép (PC, PLC, mikrovezérlő) programozók használják. "Néhány" ember kényelméért nincs értelme áttérni egy új számrendszerre, főleg a 16-osra, amikor a 8-as (amúgy több tekintetben is jobb) számrendszer is tökéletes ebből a szempontból.

      A nem matematikai tudományos számításokban a nagy számok (10¹⁰ felett) esetében elterjedt a normálalakban való számábrázolás. Itt, egy 1-nél nem kisebb és 10-nél kisebb valós szám és az alapszám hatványozott alakjaként vannak felírva a számok. A tudományos és műszaki területeken a nagyon nagy és nagyon kis számok esetében a korlátozott mérési pontosság eredendően behatárolja az értékes számjegyek számát, így hagyományosan ábrázolva, egy nagyobb szám legtöbb számjegye nulla lenne. Például a hagyományosan ábrázolt 163 225 200 000 000 szám tartalom nélküli nullái, amelyek csak a helyiérték-kijelölést biztosítják, normálalakban eltűnnek: 1,632252·10¹⁴.
      Nézzük meg a megfigyelhető világegyetem becsült tömegét jelző 1,45·10⁵³ (kg) számot különböző számrendszerekben felírt normálalakban! (A tizedesvessző utáni értéket két számjegyre kerekítve adjuk meg.)

      A fenti táblázat alapján talán megengedhető az a következtetés, hogy a "nagy" és pontatlan tudományos számok világában az alkalmazott számrendszer majdnem lényegtelen, a normálalak nem lesz sem egyszerűbb, sem rövidebb egy nagyobb alapszámú számrendszer esetében sem, vagyis a 12-es vagy 16-os számrendszer alkalmazásával a tudományos számábrázolás nem nyerne semmit.

      Végső következtetés
      Ha már számrendszert váltunk, akkor inkább a 8-as vagy az 5-ös legyen, mint a 12-es vagy a 16-os. (Egy mondatban összefoglalva az előzőeket.)
      Ha nem váltunk, az sem okoz semmilyen tudományos vagy technikai hátrányt a világegyetem esetleg létező, nem 10-es számrendszert használó, más civilizációihoz képest. Valószínűsíthető, hogy a 8-ujjúak a 8-as, a 12-ujjúak a 12-es számrendszert használják. Így természetes, hogy mi maradunk a 10-esnél.

  Tudomány és Technika (test@t-es-t.hu)

Vissza az oldal elejére

Vissza a főoldalra    Vissza a Tudományos érdekességek oldalra